اپتیک بلورهای فوتونی

بلور فوتونی را ﺑﻪ ﻃﻮر ﺳﺎده ﻣﻲ ﺗﻮان ﻳﻚ ﻣﺤﻴﻂ ﺑﺎ ﺧﻮاص اﭘﺘﻴﻜﻲ ﻣﺘﻨﺎوب ﺗﻌﺮﻳﻒ نمود. ﺑﻠﻮر ﻓﻮﺗﻮﻧﻲ ﺑﺴﻴﺎر ﭘﺎﺷﻨﺪه اﺳﺖ و ﻣﻴﺰان ﮔﺬردﻫﻲ و اﻧﻌﻜﺎس آن ﺑﻪ ﺷﺪت واﺑﺴﺘﻪ ﺑﻪ ﻃﻮل ﻣﻮج ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ. اﻳﻦ وﻳﮋﮔﻲ در ﺷﻜﻞ زﻳﺮ ﺑﺮای ﻳﻚ بلور فوتونی ﻛﻪ ﺿﺮﻳﺐ ﮔﺬردﻫﻲ آن ﺑﺮای ﻧﻮر آﺑﻲ ﺑﺰرﮔﺘﺮ از ﺻﻔﺮ و ﺑﺮای ﻧﻮر ﻗﺮﻣﺰ ﺗﻘﺮﻳﺒﺎ ﺻﻔﺮ ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ ﻧﻤﺎﻳﺶ داده ﺷﺪه اﺳﺖ.

بلور فوتونی یک بعدی و پاسخ آن به دو طول موج متفاوت

درشکل a ﺛﺎﺑﺖ ﺷﺒﻜﻪ و ﻳﺎ دوره ی ﺗﻨﺎوب ﻧﺎﻣﻴﺪه ﻣﻲ ﺷﻮد و ﻧﻤﺎﻳﺎن ﮔﺮ ﺣﺪاﻗﻞ ﻃﻮل ﻓﻀﺎﻳﻲ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺳﺎﺧﺘﺎر ﺷﺒﻜﻪ در آن ﺗﻜﺮار ﻣﻲ ﮔﺮدد.

در دو ﺑﻌﺪ ﻳﻚ بلور فوتونی را ﻣﻲ ﺗﻮان ﻣﺎﻧﻨﺪ ﻳﻚ آراﻳﻪ ی ﻣﺘﻨﺎوب از دو دی اﻟﻜﺘﺮﻳﻚ ﻓﺮض ﻧﻤﻮد ﺳﺎده ﺗﺮﻳﻦ ﻫﻨﺪﺳﻪ ﻫﺎ ﺑﺎ اﻳﻦ اﺣﺘﺴﺎب در دو ﺑﻌﺪ ﻫﻤﺎﻧﻨﺪ ﮔﺮوه ﻫﺎی ﺑﻠﻮری ﺑﺮاواﻳﺲ در ﻓﻴﺰﻳﻚ ﺣﺎﻟﺖ ﺟﺎﻣﺪ ﺑﻪ ﭘﻨﺞ ﺧﺎﻧﻮاده ی اﺻﻠﻲ ﻗﺎﺑﻞ ﺗﻘﺴﻴﻢ ﺧﻮاﻫﻨﺪ ﺑﻮد. اﻣﺎ ﺑﻪ دﻻﻳﻞ ﮔﻮﻧﺎﮔﻮن ﻛﻪ ﺑﺮﺧﻲ از آﻧﻬﺎ در ﻃﻮل اﻳﻦ ﻧﻮﺷﺘﺎر ﺧﻮاﻫﺪ آﻣﺪ ﺗﻨﻬﺎ دو ﮔﺮوه ﺑﻠﻮری در دو ﺑﻌﺪ از اﻫﻤﻴﺖ ﺑﺮﺧﻮردارﻧﺪ ﻛﻪ در ﺷﻜﻞ زیر ﻧﻤﺎﻳﺶ داده ﺷﺪه اﻧﺪ.

نمایش دو هندسه پایه بلور فوتونی دو بعدی، شکل راست ساختار مربعی و چپ مثلثی

ﺑﻪ ﺳﺎدﮔﻲ دﻳﺪه ﻣﻲ ﺷﻮد ﻛﻪ ﻋﻼوه ﺑﺮ ﺗﻘﺎرن اﻧﺘﻘﺎﻟﻲ ﻛﻪ ﻫﻤﺎن وﻳﮋﮔﻲ ﺗﻨﺎوب ﻣﻜﺎﻧﻲ اﺳﺖ ﮔﻮﻧﻪ ی دﻳﮕﺮی از ﺗﻘﺎرن در اثردوران ﺣﻮل ﻣﺒﺪا وﺟﻮد دارد ﻛﻪ بلور فوتونی را ﺑﺪون ﺗﻐﻴﻴﺮ ﺑﺎﻗﻲ ﻣﻲ ﮔﺬارد. ﺑﻪ ﺑﻴﺎن دﻳﮕﺮ ﺑﻠﻮر ﻓﻮﺗﻮﻧﻲ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ آن ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻧﺎوردا اﺳﺖ.

ﺷﺒﻜﻪ ﻣﺸﻬﻮر دو ﺑﻌﺪی دﻳﮕﺮی ﻛﻪ در واﻗﻊ از ﺧﺎﻧﻮاده ﮔﺮاﻓﻴﺖ ﻳﺎ ﻻﻧﻪ زﻧﺒﻮری اﺳﺖ ﻛﻪ در ﺷﻜﻞ ﺑﻌﺪ ﻧﻤﺎﻳﺶ داده ﺷﺪه اﺳﺖ و دارای ﺗﻘﺎرن دوراﻧﻲ ﺷﺶ ﮔﻮن ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ. ﻓﻴﺒﺮ ﺑﺮاگ در ﺷﻜﻞ زﻳﺮ را ﻣﻴﺘﻮان ﺣﺎﻟﺖ ﺧﺎﺻﻲ از بلور فوتونی دو ﺑﻌﺪی در دﺳﺘﮕﺎه ﻣﺨﺘﺼﺎت اﺳﺘﻮاﻧﻪ ای ﻓﺮض ﻧﻤﻮد.

طبقه ﺑﻨﺪی ﺑﻠﻮرﻫﺎی ﻓﻮﺗﻮﻧﻲ در ﺳﻪ ﺑﻌﺪ از ﻧﻈﺮﻫﺎی گروه های ﺑﻠﻮری ﻫﻤﺎﻧﻨﺪ ﺑﻠﻮرﻫﺎی اﻟﻜﺘﺮوﻧﻲ در ﻓﻴﺰﻳﻚ حالت جامد به 14 ﮔﺮوه اﺻﻠﻲ ﺷﺒﻜﻪ ﺑﺮاواﻳﺲ اﻧﺠﺎم ﻣﻲ ﭘﺬﻳﺮد.

در ﺳﺎل 2001 ﺗﻮدر و ﺟﺎن ﭘﺲ از ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت ﻣﻔﺼﻞ ﺳﺎﺧﺘﺎر ﭘﻴﭽﻴﺪه ای ﺑﻪ ﻧﺎم ﻣﺎرﭘﻴﭻ درﻫﻢ ﺑﺎﻓﺘﻪ را اراﺋﻪ ﻛﺮدﻧﺪ ﻛﻪ دارای ﮔﺎف ﻓﻮﺗﻮﻧﻲ ﻛﺎﻣﻞ ﺑﻮد. وﻟﻲ ﻓﻦ آوری ﺳﺎﺧﺖ ﭼﻬﺎر ﺳﺎل ﺑﻌﺪ، و ﺑﺎ ﺗﻜﻴﻪ ﺑﺮ روش ﻣﺪرن ﭘﺮﺗﻮﻧﮕﺎری دو ﻓﻮﺗﻮﻧﻲ ﻳﺎ ﻧﻮﺷﺘﻦ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻟﻴﺰری  اﻣﻜﺎن ﻣﺤﻘﻖ ﺷﺪن آن را ﺑﺎ ﻛﻴﻔﻴﺖ خوب فراهم نمود که در شکل زیر نشان داده شده است.

نمایی از ساختار افرازه چوبی در طیف ریزموج

از ﻣﻴﺎن ﺳﺎﻳﺮ ﻓﺮآﻳﻨﺪﻫﺎﻳﻲ ﻛﻪ در ﺳﺎﺧﺖ ﺑﻠﻮرﻫﺎی ﻓﻮﺗﻮﻧﻲ اﺳﺘﻔﺎده ﻣﻲ ﺷﻮﻧﺪ ﻣﻴﺘﻮان ﺑﻪ:

• ﻫﻮﻟﻮﮔﺮاﻓﻲ
• پیوند ویفر (برای ساختار اﻓﺮازه ﭼﻮﺑﻲ)
• x ﻧﮕﺎﺷﺖ
• ﭘﺮﺗﻮﻧﮕﺎری ﻻﻳﻪ ﺑﻪ ﻻﻳﻪ
• ﭘﺮﺗﻮﻧﮕﺎری ﺗﺪاﺧﻠﻲ ﻣﻮج اپالها
• اپالهای وارون و کولوئیدها اشاره نمود.

اﺣﺘﻤﺎﻻً ﺟﺎﻟﺐ ﺗﺮﻳﻦ و ﻣﻬﻢ ﺗﺮﻳﻦ ﻛﺎرﺑﺮد ﺑﻠﻮرﻫﺎی ﻓﻮﺗﻮﻧﻲ در ﻣﺨﺎﺑﺮات ﻓﻴﺒﺮ ﻧﻮری ﺑﻮده اﺳﺖ. وﻳﮋﮔﻲ ﻣﻨﺤﺼﺮ ﺑﻪ ﻓﺮد ﺑﻠﻮرﻫﺎی ﻓﻮﺗﻮﻧﻲ در اﻧﻌﻜﺎس ﻛﺎﻣﻞ ﻧﻮر ﻫﻨﮕﺎﻣﻲ ﻛﻪ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ آن در ﮔﺎف ﻓﻮﺗﻮﻧﻲ ﻗﺮار دارد اﻣﻜﺎن ﻛﺎﻫﺶ ﺗﻠﻔﺎت در ﻏﻼف ﻓﻴﺒﺮ را ﺑﻄﻮر ﭼﺸﻢ ﮔﻴﺮی اﻓﺰاﻳﺶ ﻣﻲ دﻫﺪ. در ﺷﻜﻞ زیر دو ﻧﻮع اﺻﻠﻲ از ﻓﻴﺒﺮﻫﺎی ﻧﻮری بلور فوتونی دﻳﺪه ﻣﻲ ﺷﻮد.

تصویر میکروسکپ الکترونی از ساختار واقعی مارپیچ در هم بافته در طیف فروسرخ

ﺑﻠﻮرﻫﺎی ﻓﻮﺗﻮﻧﻲ ﻧﻪ ﺗﻨﻬﺎ در ﻓﺮم ﻛﺎﻣﻞ و ﺑﺪون ﻧﻘﺺ ﺑﻠﻜﻪ ﺿﻤﻦ اﻳﺠﺎد ﻧﻘﺎﻳﺺ متفاوت و ﻛﻨﺘﺮل ﺷﺪه ﺑﻪ ﻣﻨﻈﻮرﻫﺎی ﮔﻮﻧﺎﮔﻮن ﺑﻪ ﻛﺎر ﻣﻲ روﻧﺪ.

اﻧﻮاع ﻧﻘﺺ ﻫﺎ در ﺷﺒﻜﻪ بلور فوتونی ﻣﻲ ﺗﻮاﻧﻨﺪ از ﻧﻮع:

• ﻧﻘﻄﻪ ای
• ﺧﻄﻲ
• ﺻﻔﺤﻪ ای

میﺑﺎﺷﻨﺪ. ﻫﺮ ﻛﺪام از اﻧﻮاع اﻳﻦ ﻧﻘﺺ ﻫﺎ ﻣﻨﺠﺮ ﺑﻪ ﺧﻮاص و وﻳﮋﮔﻲ ﻫﺎی ﻗﺎﺑﻞ ﻃﺮاﺣﻲ ﻣﻲ ﮔﺮدﻧﺪ ﻛﻪ ﻛﺎرﺑﺮد ﺧﺎﺻﻲ دارﻧﺪ. ﻣﺜﻼ ﻧﻘﺺ ﻧﻘﻄﻪ ای ﺑﺼﻮرت ﻳﻚ ﻛﺎواک ﺑﺎ ﺣﺠﻢ ﻣﻮد ﺑﺴﻴﺎر ﻛﻮﭼﻚ ﻋﻤﻞ می نماید.

ﺑﻠﻮرﻫﺎی ﻓﻮﺗﻮﻧﻲ در اﻟﻜﺘﺮوﻧﻴﻚ ﻧﻮری ﻫﻢ از ﺟﺎﻳﮕﺎه ویژه ﺑﺮﺧﻮردارهستند. اﻳﻦ ﻋﻤﺪﺗﺎً ﺑﻪ دو دﻟﻴﻞ اﺳﺖ:

1. اﻧﻌﻜﺎس ﻛﺎﻣﻞ و ﻣﻮﺛﺮ از بلور فوتونی در ﮔﺎف ﻓﻮﺗﻮﻧﻲ
2. ﭼﮕﺎﻟﻲ ﺣﺎﻻت ﺻﻔﺮ در ﮔﺎف ﻓﻮﺗﻮﻧﻲ

ﻣﻮرد اول ﻣﻮﺟﺐ ﺑﺎزﻳﺎﻓﺖ ﻣﻮﺛﺮ ﻓﻮﺗﻮن در ﻛﺎواﻛﻬﺎ ﻣﻲ ﮔﺮدد در ﺣﺎﻟﻲ ﻛﻪ ﺑﻪ ﻛﻤﻚ ﭼﮕﺎﻟﻲ ﺣﺎﻻت ﻓﻮﺗﻮﻧﻲ ﺻﻔﺮ ﻣﻲ ﺗﻮان اﻃﻤﻴﻨﺎن ﻛﺴﺐ کرد ﻛﻪ آﻫﻨﮓ ﮔﺴﻴﻞ ﺧﻮدﺑﺨﻮدی در ﮔﺎف ﻓﻮﺗﻮﻧﻲ دﻗﻴﻘﺎً ﺑﺮاﺑﺮ ﺻﻔﺮ اﺳﺖ. ﻟﺬا ﻟﻴﺰرﻫﺎﻳﻲ ﺑﺎ ﺟﺮﻳﺎن آﺳﺘﺎﻧﻪ ﺑﺴﻴﺎر ﻛﻮﭼﻜﺘﺮ از ﻟﻴﺰرﻫﺎی ﻧﻴﻤﻪ ﻫﺎدی ﻣﻌﻤﻮل اﻣﻜﺎن ﭘﺬﻳﺮ ﻣﻲ ﮔﺮدﻧﺪ.

از ﻣﻴﺎن آﺧﺮﻳﻦ دﺳﺘﺎوردﻫﺎی ﻗﺎﺑﻞ ﺗﻮﺟﻪ در زﻣﻴﻨﻪ ﺑﻠﻮرﻫﺎی ﻓﻮﺗﻮﻧﻲ اراﻳﻪ ی ﺳﺎﺧﺘﺎری ﺟﻬﺖ مﺤﺼﻮرﺳﺎزی ﻫﻤﺰﻣﺎن ﻓﻮﺗﻮن ﻫﺎ و ﻓﻮﻧﻮنﻫﺎ، ﻳﺎ ﺑﻪ ﻋﺒﺎرت دﻳﮕﺮ اﻣﻮاج اﻟﻜﺘﺮوﻣﻐﻨﺎﻃﻴﺲ و ﻓﺮاﺻﻮت، اﺳت.

ﺗﻮزﻳﻊ ﻣﻴﺪان ﻫﺎ و ﭼﮕﻮﻧﮕﻲ اﻳﻦ ﭘﺪﻳﺪه در ﻛﺎواک ﻣﻮرد ﺑﺤﺚ ﻧﻤﺎﻳﺶ داده ﺷﺪه اﺳﺖ.

ﺳﺎﺧﺘﺎر ﻳﻚ ﺑﻌﺪی ﻣﺘﻨﺎوب

ﺳﺎده ﺗﺮﻳﻦ ﺣﺎﻟﺘﻲ ﻛﻪ ﺑﺮای ﻳﻚ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻣﺘﻨﺎوب ﻣﻲ ﺗﻮان در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺖ، از ﺗﻜﺮار دو ﻻﻳﻪ ی ﻫﻤﮕﻦ ﺑﺎ ﺿﺨﺎﻣﺖ و ﺛﺎﺑﺖ ﮔﺬردﻫﻲ اﻟﻜﺘﺮﻳﻜﻲ ﻣﺘﻔﺎوت ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﻲآﻳﺪ ﻛﻪ در ﺷﻜﻞ زﻳﺮ ﻧﻤﺎﻳﺶ داده ﺷﺪه اﺳﺖ:

در اﻳﻦ ﺟﺎ وﻳﮋﮔﻲ ﺗﻨﺎوب ﻣﻜﺎﻧﻲ را ﻣﻲﺗﻮان ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﻧﻮﺷﺖ:

[katex]\in \left( x \right) = \in \left( {x + L} \right)[/katex]

[katex]K_1^2 = K_0^2{\varepsilon _1} – {\beta ^2}[/katex]

[katex]K_1^2 = K_0^2{\varepsilon _2} – {\beta ^2}[/katex]

همچنین می توان نوشت:

تابع موج خود از معادله زیر قابل دسترس است:

[katex]\frac{{{\partial ^2}A\left( x \right)}}{{\partial {x^2}}} = A\left( x \right) + {K^2}\left( x \right)A\left( x \right) = 0[/katex]

ﺳﺎﺧﺘﺎر دوﺑﻌﺪی ﻣﺘﻨﺎوب

در ﺳﺎﺧﺘﺎر ﻣﺘﻨﺎوب ﻳﻚ ﺑﻌﺪی دارﻳﻢ:

ε ( x ) = ε ( x + nL ) , ∀n ∈ z

در ﺳﺎﺧﺘﺎر ﻣﺘﻨﺎوب دو ﺑﻌﺪی ﺧﻮاﻫﻴﻢ داﺷﺖ:

ε ( x , y ) =ε (r ) =ε (r + ma + nb ) , ∀ m , n ∈ z

   a × b ≠ 0

a ⊥ b, a = b

ﺑﺮﻗﺮار ﺑﺎﺷﺪ ﺷﺒﻜﻪ ی ﻣﺮﺑﻌﻲ و ﻫﺮﮔﺎه:

a, b)=60D or 120D, a=b)

ﺷﺒﻜﻪ ی ﻣﺜﻠﺜﻲ دارﻳﻢ.

ﺑﺮای ﺷﺒﻜﻪ ﻣﺮﺑﻌﻲ (ﻣﺜﻠﺜﻲ) ﺳﻠﻮل واﺣﺪ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﺤﺼﺮ ﺑﻪ ﻓﺮد ﺷﺒﻜﻪ ﻳﻚ ﻣﺮﺑﻊ (ﻳﻚ ﻟﻮزی) اﺳﺖ ﻛﻪ اﺿﻼع آن ﺑﺮدارﻫﺎی ﭘﺎﻳﻪ ﺷﺒﻜﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ. ﺷﺒﻜﻪ ﻫﺎی ﻣﺘﻨﺎوب از ﺗﻜﺮار ﻳﻚ ﺳﻠﻮل واﺣﺪ ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﻲ آﻳﻨﺪ و ﺷﺒﻜﻪ ﻫﺎ ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ آن ﻛﻪ از ﺗﻜﺮار ﭼﻪ ﻧﻮع ﺳﻠﻮل واﺣﺪی ﺳﺎﺧﺘﻪ ﺷﺪه اﻧﺪ، ﻧﺎم ﮔﺬاری ﻣﻲ ﺷﻮﻧﺪ.

نمایش ساختار لایه ای متناوب در یک بعد: مبدا x=0 جدا کننده محیط های 1 و 2 و محیط 3 تکرار محیط 1 میباشد.

ﺷﺒﻜﻪ ی ﻣﺮﺑﻌﻲ: دو ﺳﻠﻮل واﺣﺪ ﻫﻢ ارز در وﺳﻂ و ﺑﺎﻻ دﻳﺪه ﻣﻲﺷﻮد؛ ﭼﻬﺎر رﺑﻊ داﻳﺮه ﺿﺨﻴﻢ در ﺳﻠﻮل واﺣﺪ وﺳﻂ (ﻣﺠﻤﻮﻋﺎً ﻳﻚ داﻳﺮه) و ﻳﻚ داﻳﺮه ی ﻛﺎﻣﻞ ﺿﺨﻴﻢ در ﺳﻠﻮل واﺣﺪ ﺑﺎﻻ ﺟﺎی ﻣﻲﮔﻴﺮند.

در ﺷﺒﻜﻪ ی ﮔﺮاﻓﻴﺖ ﺳﻠﻮل واﺣﺪ آن از دو ﺑﺮدار ﻫﻢ اﻧﺪازه ﻛﻪ ﺑﺎ ﻳﻜﺪﻳﮕﺮ زاوﻳﻪ 120 درﺟﻪ ﻣﻲ ﺳﺎزﻧﺪ ساخته می شود.

ﺷﺒﻜﻪ ی ﻣﺮﺑﻌﻲ: دو ﺳﻠﻮل واﺣﺪ ﻫﻢ ارز در وﺳﻂ و ﺑﺎﻻ دﻳﺪه ﻣﻲﺷﻮد؛ ﭼﻬﺎر رﺑﻊ داﻳﺮه ﺿﺨﻴﻢ در ﺳﻠﻮل واﺣﺪ

وﺳﻂ (ﻣﺠﻤﻮﻋﺎً ﻳﻚ داﻳﺮه) و ﻳﻚ داﻳﺮه ی ﻛﺎﻣﻞ ﺿﺨﻴﻢ در ﺳﻠﻮل واﺣﺪ ﺑﺎﻻ ﺟﺎی ﻣﻲﮔﻴﺮند.

در ﺷﺒﻜﻪ ی ﮔﺮاﻓﻴﺖ ﺳﻠﻮل واﺣﺪ آن از دو ﺑﺮدار ﻫﻢ اﻧﺪازه ﻛﻪ ﺑﺎ ﻳﻜﺪﻳﮕﺮ زاوﻳﻪ 120 درﺟﻪ ﻣﻲ ﺳﺎزﻧﺪ ساخته می شود.

ﺷﺒﻜﻪ ﮔﺮاﻓﻴﺖ:

دو ﺳﻠﻮل واﺣﺪ ﻫﻢ ارز در وﺳﻂ و ﺑﺎﻻ دﻳﺪه ﻣﻲﺷﻮد؛ ﺷﺶ ﺛﻠﺚ داﻳﺮه ﺿﺨﻴﻢ در ﺳﻠﻮل وﺳﻂ(ﻣﺠﻤﻮﻋﺎً دو داﻳﺮه) و دو داﻳﺮه ﻛﺎﻣﻞ ﺿﺨﻴﻢ در ﺳﻠﻮل ﺑﺎﻻﻳﻲ ﺟﺎی ﻣﻲﮔﻴﺮﻧﺪ.

سلول ویگنر-سایتز

ﺑﺮای ﺑﻪ دﺳﺖ آوردن ﺳﻠﻮل واﺣﺪ ﺷﺒﻜﻪ راﻫﻲ ﻫﻨﺪﺳﻲ وﺟﻮد دارد و ﺳﻠﻮﻟﻲ ﻛﻪ از آن ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﻲآﻳﺪ ﺑﻪ سلول ویگنر-سایتز ﺷﺒﻜﻪ ﻣﺸﻬﻮر اﺳﺖ.

ﻳﻚ ﻧﻘﻄﻪ ﻣﺒﺪأ در ﺷﺒﻜﻪ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ و ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ﻓﻮاﺻﻞ ﻫﻨﺪﺳﻲ ﺳﺎﻳﺮ ﻧﻘﺎط در ﺷﺒﻜﻪ ﺗﺎ ﻧﻘﻄﻪ ﻣﺒﺪأ آن ﻫﺎ را دﺳﺘﻪ ﺑﻨﺪی ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ؛ ﻧﻘﺎﻃﻲ را ﻛﻪ ﻛﻮﺗﺎﻫﺘﺮﻳﻦ ﻓﺎﺻﻠﻪ را ﺗﺎ ﻣﺒﺪأ دارﻧﺪ اﺻﻄﻼﺣﺎً ﻧﺰدﻳﻜﺘﺮﻳﻦ ﻫﻤﺴﺎﻳﻪ ﻣﻲﻧﺎﻣﻨﺪ. ﺳﭙﺲ از ﻧﺰدﻳﻜﺘﺮﻳﻦ ﻫﻤﺴﺎﻳﮕﺎن تا ﻣﺒﺪأ ﭘﺎره ﺧﻄﻮﻃﻲ را ﺗﺮﺳﻴﻢ و در دو ﺑﻌﺪ (ﺳﻪ ﺑﻌﺪ) ﺧﻂ (ﺻﻔﺤﻪ) ﻋﻤﻮدﻣﻨﺼﻒ آﻧﻬﺎ را رﺳﻢ می کنیم.

ﺳﻄﺢ (ﺣﺠﻢ) ﻣﺤﺼﻮر ﻣﺎﺑﻴﻦ ﺧﻄﻮط (ﺳﻄﻮح) ﻋﻤﻮد ﻣﻨﺼﻒ ﻫﺎ در واﻗﻊ ﻫﻤﺎن ﺳﻠﻮل وﻳﮕﻨﺮ ﺳﺎﻳﺘﺰ ﺷﺒﻜﻪ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد.

ﻧﺎﺣﻴﻪ ی اول ﺑﺮﻳﻠﻮﻳﻴﻦ

ﻧﻮاﺣﻲ ﺑﺮﻳﻠﻮﻳﻴﻦ در ﺷﺒﻜﻪ ﻣﻌﻜﻮس ﻣﺸﺎﺑﻪ ﺑﺎ ﺷﺒﻜﻪ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ بلور فوتونی ﺷﺒﻜﻪ ﻣﻌﻜﻮس را ﻣﻲﺗﻮان ﺑﺎ ﻛﻤﻚ اﻧﺘﻘﺎل و ﺗﻜﺮار ﻳﻚ ﺳﻠﻮل واﺣﺪ ﺑﻪ دﺳﺖ آورد.

ﻫﺮﮔﺎه ﺳﻠﻮل واﺣﺪ ﺷﺒﻜﻪ ﻣﻌﻜﻮس را ﺑﺎ روش وﻳﮕﻨﺮ-ﺳﺎﻳﺘﺰ ﺣﻮل ﻣﺒﺪأ ﺑﻪ دﺳﺖ آورﻳﻢ در واﻗﻊ ﺑﻪ ﻧﺎﺣﻴﻪ اول ﺑﺮﻳﻠﻮﻳﻴﻦ ﺧﻮاﻫﻴﻢ رﺳﻴﺪ.

در واﻗﻊ ﺑﺎ اﻳﻦ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻧﺎﺣﻴﻪ ی اول ﺑﺮﻳﻠﻮﻳﻴﻦ ﻫﻤﺎن ﺳﻠﻮل وﻳﮕﻨﺮ-ﺳﺎﻳﺘﺰ ﺷﺒﻜﻪ ﻣﻌﻜﻮس ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ.

ﻧﻮاﺣﻲ ﺑﺮﻳﻠﻮﻳﻴﻦ دوم و ﻣﺮاﺗﺐ ﺑﺎﻻﺗﺮ

ﻧﻮاﺣﻲ ﺑﺮﻳﻠﻮﻳﻴﻦ دوم و ﻣﺮاﺗﺐ ﺑﺎﻻﺗﺮ را ﻧﻴﺰ ﻣﻲﺗﻮان ﺑﻪ ﻫﻤﻴﻦ روش ﺗﻌﺮﻳﻒ و ﺗﺒﻴﻴﻦ کرد. شبکه ی ﻣﻌﻜﻮس ﻳﻚ ﺑﻠﻮر ﻓﻮﺗﻮﻧﻲ ﻣﺮﺑﻌﻲ و ﻧﻮاﺣﻲ اول ﺗﺎ ﺳﻮم ﺑﺮﻳﻠﻮﻳﻴﻦ آن دﻳﺪه ﻣﻲﺷﻮﻧﺪ.

شبکه ی ﻣﻌﻜﻮس ﻳﻚ بلور فوتونی ﻣﺮﺑﻌﻲ؛ راﺳﺖ: ﻧﻤﺎﻳﺶ ﻧﻘﺎط ﺷﺒﻜﻪ ﻣﻌﻜﻮس، ﺑﺮدارﻫﺎی ﭘﺎﻳﻪ ﺷﺒﻜﻪ ﻣﻌﻜﻮس

شبکه ی ﻣﻌﻜﻮس ﻳﻚ بلور فوتونی ﻣﺮﺑﻌﻲ؛ راﺳﺖ: ﻧﻤﺎﻳﺶ ﻧﻘﺎط ﺷﺒﻜﻪ ﻣﻌﻜﻮس، ﺑﺮدارﻫﺎی ﭘﺎﻳﻪ ﺷﺒﻜﻪ ﻣﻌﻜﻮس

روش ﺗﻔﺎﺿﻞ ﻫﺎی ﻣﺤﺪود در ﺣﻮزه زﻣﺎن

روش ﺗﻔﺎﺿﻞ ﻫﺎی ﻣﺤﺪود در زﻣﺎن در ﺳﻪ ﺑﻌﺪ در ﺳﺎل 1966 ﺗﻮﺳﻂ yee اﺑﺪاع ﺷﺪ، وﻟﻲ ﺑﺪﻟﻴﻞ ﻋﺪم دسترسی به سخت افزارهای ﻣﻨﺎﺳﺐ ﺑﺮای ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت ﻋﺪدی ﺑﻪ اﻳﻦ روش ﺗﺎ اواﺳﻂ دﻫﻪ 1970 ﺗﻮﺟﻬﻲ نگردید. اﻣﺮوزه اﻳﻦ روش ﺑﻪ ﻋﻨﻮان روﺷﻲ ﻋﻤﺪه در ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت ﺑﻠﻮرﻫﺎی ﻓﻮﺗﻮﻧﻲ ﺑﻜﺎر ﻣﻲ رود.

از ﻣﻴﺎن وﻳﮋﮔﻲ ﻫﺎی ﺑﺎرز اﻳﻦ روش ﻣﻲ ﺗﻮان ﺑﻪ ﻣﻮارد زﻳﺮ اﺷﺎره نمود:

• روش ﺗﻔﺎﺿﻞ ﻫﺎی ﻣﺘﻨﺎﻫﻲ در زﻣﺎن ﻗﺎدر اﺳﺖ ﺑﺎ اﺗﺨﺎذ ﺷﺮاﻳﻂ ﻣﺮزی ﻣﻨﺎﺳﺐ و ادﻏﺎم ﺑﺎ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ آﻧﺎﻟﻴﺰ ﻣﻮدال برای جستجوی ﻣﻮدﻫﺎی وﻳﮋه ی ﺳﺎﺧﺘﺎرﻫﺎی ﮔﻮﻧﺎﮔﻮن ﺑﻨﻤﺎﻳد.
• وﻳﮋﮔﻲ ﻫﺎی اﻧﺘﮕﺮاﻟﻲ و دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻠﻲ ﻣﻌﺎدﻻت ﻣﺎﻛﺴﻮل ﻫﻢ زﻣﺎن ارﺿﺎ ﻣﻲ ﮔﺮدﻧد.
• ﻣﻌﺎدﻻت ﺳﻮم و ﭼﻬﺎرم ﻣﺎﻛﺴﻮل ﺑﻪ دﻟﻴﻞ ﻧﺤﻮه ﻗﺮار ﮔﺮﻓﺘﻦ ﻣﻮﻟﻔﻪ ﻫﺎی ﻣﻴﺪان ﻫﺎ ﺗﻮاﻣﺎً ارﺿﺎ می شوند.

برای ﺗﻮﺿﻴﺢ روش اﺟﺰای ﻣﺤﺪود در ﺣﻮزه ی زﻣﺎن اﺑﺘﺪا ﺑﻪ ﻣﺪل ﺳﺎده ﺗﺮ آن ﺑﺮای ﻳﻚ ﻓﻀﺎی دوﺑﻌﺪی می نگریم. در اﻳﻦ مدل ﻓﻀﺎ را روی ﻳﻚ ﺻﻔﺤﻪ ﻣﺎﻧﻨﺪ ﺷﻜﻞ زﻳﺮ ﺷﺒﻜﻪ ﺑﻨﺪی ﻣﻲ نماییم. همچنین در اینجا قطبش الکتریکی در نظر گرفته شده است.

گسسته سازی فضای دو بعدی در روش تفاضل های محدود

ﺗﻔﺎﺿﻞ ﻫﺎی ﻣﺘﻨﺎﻫﻲ در ﺑﺴﺎﻣﺪ

در اﻳﻦ روش ﻫﻤﺎﻧﻨﺪ ﺗﻔﺎﺿﻞ ﻫﺎی ﻣﺘﻨﺎﻫﻲ در زﻣﺎن ﻓﻀﺎ را ﮔﺴﺴﺘﻪ ﻣﻲ ﻛﻨﻴﻢ، وﻟﻲ ﺑﻪ ﺟﺎی ﺣﺮﻛﺖ در زﻣﺎن ﺳﻴﺴﺘﻢ در ﻳﻚ ﺑﺴﺎﻣﺪ ﺧﺎص ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻣﻲ ﺷﻮد. از اﻳﻦ روش ﻋﻤﻮﻣﺎً در ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻣﻮدﻫﺎی اﻧﺘﺸﺎر (ﻣﺜﻼً ﻓﻴﺒﺮ بلور فوتونی) ﻣﻲ ﺗﻮان اﺳﺘﻔﺎده ﻛﺮد.

ﺷﺮاﻳﻂ ﻣﺮزی

در ﻣﺴﺎﻳﻞ ﻋﺪدی ﻣﻮرد ﺑﺮرﺳﻲ در بلور فوتونی ﻋﻤﻮﻣﺎً ﺑﺎ ﭼﻬﺎر ﺧﺎﻧﻮاده ﻣﻮاﺟﻪ ﻣﻲ ﺷﻮﻳﻢ:

1. انتشار
2. ﺳﺎﺧﺘﺎر ﺑﺎﻧﺪ ﻳﺎ ﻧﻤﻮدار ﭘﺎﺷﻨﺪﮔﻲ ﻧﻘﺺ ﺧﻄﻲ ﻳﺎ ﺻﻔﺤﻪ ای
3. ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ی ﻣﻘﺪاروﻳﮋه و ﻣﻮد ﻧﻘﺺ
4. ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ی ﺳﺎﺧﺘﺎر ﺑﺎﻧد

ﺑﺴﺘﻪ ﺑﻪ آﻧﻜﻪ ﻛﺪاﻣﻴﻚ از ﺧﺎﻧﻮاده ﻫﺎی ﻓﻮق را در دﺳﺖ ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ دارﻳﻢ، ﺷﺮاﻳﻂ ﻣﺮزی ﮔﻮﻧﺎﮔﻮﻧﻲ ﺑﺮای ﺑﺴﺘﻦ ﻧﺎﺣﻴﻪ ی ﺣﻞ ﺑﻪ ﻛﺎر ﮔﺮﻓﺘﻪ ﻣﻲ ﺷﻮد.

 اﻧﻮاع ﻣﻨﺎﺑﻊ

ﺑﺮای ﺷﺒﻴﻪ ﺳﺎزی اﻧﺘﺸﺎر ﻣﻮج در بلور فوتونی ﻻزم اﺳﺖ ﻛﻪ ﻣﻨﺒﻌﻲ ﺑﺮای ﺗﻮﻟﻴﺪ ﻣﻮج اﻟﻜﺘﺮوﻣﻐﻨﺎﻃﻴﺲ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﻢ که بدین ﻣﻨﻈﻮر ﺑﺮای ﻣﺴﺎﻳﻞ ﺧﺎﻧﻮاده ﻫﺎی 1 ﺗﺎ 3 ﻣﻌﻤﻮﻻً از ﻣﻴﺪان اوﻟﻴﻪ و ﺑﺮای ﺧﺎﻧﻮاده 4 ﻣﻲ ﺗﻮان از ﻣﻨﺒﻊ ﻧﻘﻄﻪ ای ﻳﺎ ﻣﻨﺒﻊ ﻫﻮﻳﮕﻨﺲ اﺳﺘﻔﺎده ﻧﻤﻮد.